笑わない数学メモ
素数 - 笑わない数学
《 初回公開：2022/08/21 , 最終更新：2022/11/20 》
NHKテレビでの「笑わない数学」って番組なんかよくわからないけど、身の程知らずにもなんか興味があって。
理解できないけど、テレビに出てきたキーワードをメモってそれをググって関係ありそうな記事の部分を引用。
全ての素数の無限和の積を作成して展開すると、全ての自然数の逆数の無限和ができることにオイラーは気付いた。
...
ガウスは素数が表れるタイミングを正確に予測しようというこれまでのアプローチを止め、ある特定の範囲内の素数の個数を予想できないかと考えた。
素数が存在する割合を調べていったガウスはそれが対数表と関連していることに気付いた。
1792年、15歳のガウスは1から自然数xまでの数の中に存在する素数のおおよその個数が次の式で与えられることを発見した。
【 目次 】
双子素数
双子素数（ふたごそすう、英: twin prime）とは、差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである。双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である。
双子素数を小さい順に並べた列は、次のとおりである。(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), …
レオンハルト・オイラー
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は、18世紀の数学者・天文学者（天体物理学者）。
18世紀の数学界の中心となり、続く19世紀の厳密化・抽象化時代の礎を築いた[1]。
数学者としての膨大な業績と、後世の数学界に与えた影響力の大きさから、19世紀のカール・フリードリヒ・ガウスと並ぶ数学界の二大巨人の一人とも呼ばれている[2]。
右目を失明していたため「数学のサイクロプス（単眼の巨人）」とも呼ばれた[3][4]。
あまりにも数学の研究に没頭し過ぎたため後に左目も失明したが、その後も亡くなるまで研究をやめることはなかった
オイラーの定理
「オイラーの定理」って学校でならったような記憶があるけどなんだったけ？
カール・フリードリヒ・ガウス
ドイツの数学者・天文学者・物理学者。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。
数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する（→ガウスにちなんで名づけられたものの一覧）。
19世紀最大の数学者の一人であり[1]、18世紀のレオンハルト・オイラーと並んで数学界の二大巨人の一人と呼ばれることもある[2]。
自然対数表を使って素数の数を予測。
対数とは
学校で習ってその時は理解していたと思った対数でさえよく思い出せない。
素数階段
個数関数はその形状から、別名「素数階段」と呼ばれますが、階段のようにギザギザと上っています。それに対して、 《リーマン関数》 は、そのギザギザの合間を縫うように、一直線に進んでいます。
まゆ：そう、そのガウスさん。素数の研究で「素数階段」っていうのを考えたんや
とも：素数階段ってなんやねんな
まゆ：数の書かれた道があって、素数のところだけが1段上がる階段をイメージしてもらうとわかりやすいかな
とも：2、3、5、7…が段差になってるんやな
まゆ：そういうこと。たとえば100までだと25個の素数があるので、25段の素数階段ができる
...
とも：素数って規則性がないのに、なんで、ある数までの素数の数がわかるん？
まゆ：ガウスさんは100万までの数に含まれる素数を調べ上げたんやけど、無規則に現れる素数に、ある法則を見つけてん
とも：その法則がわかれば、計算で未知の素数がわかるようになるやん
まゆ：ええところついてるけど、そうではないねん。
とも：なんやねんな、それｗ
まゆ：ガウスさん、100万までに含まれる素数の個数の分布に注目したんやな。100までに含まれる素数は25個。これは平均して数4個につき1個の素数があるということになるやろ
とも：うん
まゆ：1,000までなら168個の素数があって、これは約6個に1個の割合で素数が存在することになる。10,000だと素数は何個あると思う？
とも：わかるか！
まゆ：鈍いなぁ。1229個やん
とも：そんなん普通、わからんやろｗ
まゆ：10,000までは8.1個に1個が素数。そして10万だと10.4個に1個。100万個だと数12.7個に1個が素数…つまり、数が1桁繰り上がることに、その数までに含まれる素数の平均値が、2.3個ずつ増えて行くねん
とも：10,000までは8.1個、10万個で10.4個、100万個だと12.7個…ほんまや
まゆ：じゃあ、1000万までやったら、何個に1個が素数と思う？
とも：それでいくと、1000万の数に含まれる素数は12.7＋2.3やから、15個に1個が素数っていうことになるのん？
まゆ：ご名算！すごいやん！ガウスもビックリやでｗ つまり、1000万まで具体的にどの数が素数かわからなくても、この法則で素数の数は、ある程度わかってしまうねん。ちなみに1000万までは664,579個の素数があって、約15.04個に1個の割合で素数が存在するねん。
素数・自然数は人間が勝手に作った10進法での数なので
その勝手に作った基準で、宇宙の数的構造を表現しようとしても、どこかしらに矛盾が出てきてしまうのは明らかです。
宇宙構造的に、eやπを基準とした方が都合がいい事は、色々な数式にeやπが使われている事で証明できます。なので、今までの10進法や2進法を、e進法やπ進法で表すことが出来るようになれば、リーマン予想も解けるような気がします。
ガウスも電気磁気学かなんかの授業で出てきたような
ベルンハルト・リーマン
ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン（ドイツ語: Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826年9月17日 - 1866年7月20日）は、ドイツの数学者。
解析学・幾何学・数論の分野で業績を上げた。アーベル関数に関する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20世紀になって彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。
19世紀を代表する数学者の一人である。
ゼータ関数とリーマン予想
解けたら1億円
数学者ヒュー・モンゴメリーと物理学者フリーマン・ダイソン
モンゴメリー・オドリズコ予想[注 1] (英語: Montgomery-Odlyzko law)とは、リーマンゼータ関数の自明でない零点の間隔の分布は、ガウス型ユニタリ・アンサンブル（GUE）にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一であるとする予想。
ヒュー・モンゴメリーはプリンストン大学でのお茶の時間にフリーマン・ダイソンと出会い、零点のペアに関する相関を表す式が原子核のエネルギー準位モデルであるランダム行列理論(RMT)の式と酷似していると知ってランダム行列との関連を研究しはじめた。[4]
この予想によれば、リーマン・ゼータ関数の零点の正規化された間隔は、ランダム行列理論を使った重い原子核のエネルギー準位の間隔と同様に、対相関関数が次式で表される。{\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right){2}+\delta (u).}1-\left(\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}\right)2 +\delta(u).
1973年、モンゴメリーはゼータ関数の非自明な零点のペアに関する相関がGUE型のランダム行列の固有値のペアに関する相関と等しいとする論文[5] を発表した。
これを読んだオドリズコは、ゼータ関数の零点の間隔分布について大規模な数値計算を行い、ランダム行列の固有値の間隔の分布とほぼ一致することを1987年の論文[6] で示した。[7]