無限 - 笑わない数学
《 初回公開：2022/11/19 , 最終更新：2022/11/20 》
【 目次 】
数の種類 - 予備知識として
自然数 偶数 奇数 有理数 無理数
自然数 vs 整数
自然数（しぜんすう）とは、正の整数のことです。よって、0（ぜろ）、マイナスの数、分数、小数は自然数に含みません。なお整数とは、小数や分数以外の数です。
有理数 vs 無理数
有理数とは分数であらわせる数
無理数と分数であらわせない数
有理数には整数，有限小数，循環小数がある。
実数 vs 整数
実数は数直線上にあるすべての数であり、実数には、正の整数（自然数）、ゼロ、負の整数、有理数、無理数など、
虚数を除くすべての数。
くりかえしになるが、整数とは、小数や分数以外の数です。
実数
有理数
整数
正の整数（自然数）
ゼロ
負の整数
整数以外の有理数
有限小数
循環小数
無理数
虚数
小数とは
小数は表記法を示していて数の種類に含めないという事かな。
「小数」とは，１より小さい端数をもつ数についての
表記法の一つを示す言葉です。小数点の右側の数列で
端数を表します。
例 0.5これに対し，「実数」というのは，数の種類を示す言葉の一つです。
...
そうすると，実数の集合に入る数は，全て小数で書き表すことが
できるといえなくもありません。この流れでいうと，
実数とは，小数で表せる数である
という言い方も，間違いではありません。
...
もっとも，
実数は小数である
などといきなり言うと，怪訝な顔をされる場合もあるので，
言う相手と場所を，よく考えた方がいいでしょう。
少数って１より小さい数をいうのかなと思ったけど、１より大きくても小数点付きの数字を少数という事もあるのかな。
そもそも小数は１より小さい数ですが，現在では，５.３や５.３２のように，整数と本来の小数との和の形になっている数も，小数としています。そこで，１より小さい小数を純小数，１より大きい小数を帯小数とよぶこともあります。
無限 - 本題にはいって
ゼノン 無限
昔，子供の頃、学校の先生から教わったパラドックス、「アキレスと亀」の話。
あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らか[10]なので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点（地点Aとする）からスタートすることとなった。
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。
結局，これって、アキレスが亀に追いつく前までの時間を無限に分割しているだけの話で。
カントール 無限
ロシア生まれ、ドイツ育ちのカントールは、無限の性質を定義するのみならず、無限が複数存在し、ある無限は他の無限より大きいという証明まで提示してのけ、...
自然数 奇数 偶数 無限
自然数と奇数と偶数の個数は同じ
と、ここまで来て何が何だかわからなくなってきた。
とりあえず、わからないまま次へとつづけると。
カントールの対角線論法
無限 濃度
実数の集合の濃度の方が、自然数の集合の濃度より大きい
連続体仮説
ジョージ・カントルは，自然数のようにぱらぱらある無限と，実数のようにべったりある無限とでは集合数が異なることを証明したが，この中間の集合数は存在しないだろうと予測した。これを「連続体仮説」という。のちにクルト・ゲーデルは，これが普通の集合論と無矛盾であることを証明したが，さらに 1960年代になってポール・J.コーエンによって連続体仮説の否定もまた無矛盾であることが証明された。すなわち，連続体仮説は今日の集合論と独立であり，その成立が証明されることも，その否定が証明されることもありえないことを示した。
クルト・ゲーデル（Kurt Godel） 不完性定理
ゲーデルは「数学理論は不完全であり決して完全にはなりえません。数学に矛盾がないことは証明できません。」ということを数学的に証明してしまいました。